25年浙江高考圆锥曲线

问题 18 (17分)

设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$，记 $A$ 为椭圆下端点，$B$ 为右端点，$|AB| = \sqrt{10}$，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

(1) 求椭圆的标准方程；

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(i) 设 $Q$ 是射线 $AP$ 上一点，且 $|AQ| \cdot |AP| = 3$，求 $Q$ 的坐标 (用 $m, n$ 表示)；

(ii) 设直线 $OQ$ 的斜率为 $k_1$，直线 $OP$ 的斜率为 $k_2$，若 $k_1 = 3k_2$，M 为椭圆上一点，求 $|PM|$ 的最大值。

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解答：

(1) 求椭圆的标准方程

根据题意，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$。
椭圆的下端点 $A$ 的坐标为 $(0, -b)$。
椭圆的右端点 $B$ 的坐标为 $(a, 0)$。

由两点距离公式，可得 $|AB| = \sqrt{(a-0)^2 + (0-(-b))^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$。
已知 $|AB| = \sqrt{10}$，所以 $a^2 + b^2 = 10$ (方程①)。

椭圆的离心率 $e = \frac{c}{a}$。
已知离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以 $\frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (方程②)。

对于椭圆，有关系 $a^2 = b^2 + c^2$。

从方程②，我们可以得到 $c = \frac{2\sqrt{2}}{3}a$。
将 $c$ 代入 $a^2 = b^2 + c^2$，得到 $a^2 = b^2 + \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}a\right)^2$。
$a^2 = b^2 + \frac{8}{9}a^2$
$a^2 - \frac{8}{9}a^2 = b^2$
$\frac{1}{9}a^2 = b^2$ (方程③)。

将方程③代入方程①：
$a^2 + \frac{1}{9}a^2 = 10$
$\frac{10}{9}a^2 = 10$
$a^2 = 9$。

因为 $a > 0$，所以 $a = 3$。

将 $a^2 = 9$ 代入方程③：
$b^2 = \frac{1}{9} \cdot 9 = 1$。

所以，椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$。

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(2) 设点 $P(m, n)$。

(i) 设 $Q$ 是射线 $AP$ 上一点，且 $|AQ| \cdot |AP| = 3$，求 $Q$ 的坐标 (用 $m, n$ 表示)；

椭圆下端点 $A$ 的坐标为 $(0, -b) = (0, -1)$。
设点 $P(m, n)$。
设点 $Q(x_Q, y_Q)$。

因为 $Q$ 在射线 $AP$ 上，所以 $\vec{AQ}$ 与 $\vec{AP}$ 同向。
这意味着存在一个正实数 $\lambda$，使得 $\vec{AQ} = \lambda \vec{AP}$。

由向量的坐标表示，$\vec{AQ} = (x_Q - 0, y_Q - (-1)) = (x_Q, y_Q + 1)$。
$\vec{AP} = (m - 0, n - (-1)) = (m, n + 1)$。

所以 $(x_Q, y_Q + 1) = \lambda (m, n + 1)$。
即 $x_Q = \lambda m$ 且 $y_Q + 1 = \lambda (n + 1)$。

同时，我们有 $|AQ| = \lambda |AP|$ (因为 $\lambda > 0$)。
已知 $|AQ| \cdot |AP| = 3$。
所以 $(\lambda |AP|) \cdot |AP| = 3$，即 $\lambda |AP|^2 = 3$。
所以 $\lambda = \frac{3}{|AP|^2}$。

我们知道 $|AP|^2 = (m-0)^2 + (n-(-1))^2 = m^2 + (n+1)^2$。
所以 $\lambda = \frac{3}{m^2 + (n+1)^2}$。

现在我们可以表示 $Q$ 的坐标：
$x_Q = \lambda m = \frac{3m}{m^2 + (n+1)^2}$。
$y_Q + 1 = \lambda (n + 1) = \frac{3(n+1)}{m^2 + (n+1)^2}$。
$y_Q = \frac{3(n+1)}{m^2 + (n+1)^2} - 1 = \frac{3(n+1) - (m^2 + (n+1)^2)}{m^2 + (n+1)^2}$。

所以，点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{3m}{m^2 + (n+1)^2}, \frac{3(n+1) - m^2 - (n+1)^2}{m^2 + (n+1)^2}\right)$。

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(ii) 设直线 $OQ$ 的斜率为 $k_1$，直线 $OP$ 的斜率为 $k_2$，若 $k_1 = 3k_2$，M 为椭圆上一点，求 $|PM|$ 的最大值。

原点 $O$ 的坐标为 $(0, 0)$。
点 $P(m, n)$。
点 $Q\left(\frac{3m}{m^2 + (n+1)^2}, \frac{3(n+1) - m^2 - (n+1)^2}{m^2 + (n+1)^2}\right)$。

直线 $OP$ 的斜率 $k_2 = \frac{n - 0}{m - 0} = \frac{n}{m}$ (如果 $m \neq 0$)。

直线 $OQ$ 的斜率 $k_1 = \frac{y_Q - 0}{x_Q - 0} = \frac{\frac{3(n+1) - m^2 - (n+1)^2}{m^2 + (n+1)^2}}{\frac{3m}{m^2 + (n+1)^2}}$ (如果 $x_Q \neq 0$)。
$k_1 = \frac{3(n+1) - m^2 - (n+1)^2}{3m}$。

已知 $k_1 = 3k_2$。
$\frac{3(n+1) - m^2 - (n+1)^2}{3m} = 3 \cdot \frac{n}{m}$。

假设 $m \neq 0$。
$3(n+1) - m^2 - (n+1)^2 = 9n$。
$3n + 3 - m^2 - (n^2 + 2n + 1) = 9n$。
$3n + 3 - m^2 - n^2 - 2n - 1 = 9n$。
$-m^2 - n^2 + n + 2 = 9n$。
$-m^2 - n^2 - 8n + 2 = 0$。
$m^2 + n^2 + 8n - 2 = 0$。

现在考虑特殊情况：
若 $m = 0$，则 $P(0, n)$。
若 $P$ 在 $y$ 轴上，则 $k_2$ 不存在或为无穷大。
若 $P(0, n)$，则射线 $AP$ 是 $y$ 轴正方向，或者 $y$ 轴负方向，具体取决于 $n$ 的符号。
$A=(0, -1)$。
若 $P(0, n)$，则 $Q$ 在 $y$ 轴上。
$x_Q = 0$。
$y_Q = \frac{3(n+1) - (n+1)^2}{n+1}$ (当 $n \neq -1$)。
$y_Q = 3 - (n+1) = 2 - n$。
所以 $Q(0, 2-n)$。
此时 $k_2$ 不存在。
$k_1$ 也不存在。
这种情况不符合 $k_1 = 3k_2$ 的条件。

所以 $m \neq 0$ 是正确的。
因此 $m^2 + n^2 + 8n - 2 = 0$ 是点 $P(m, n)$ 满足的条件。
将上式变形为 $m^2 + (n+4)^2 = 2 + 16 = 18$。
这表示点 $P$ 在以 $(0, -4)$ 为圆心，半径为 $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ 的圆上。

我们需要求 $|PM|$ 的最大值，其中 $M$ 是椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$ 上一点。
将 $m^2 = 18 - (n+4)^2$ 代入椭圆方程。
椭圆方程 $x^2/9 + y^2 = 1 \implies x^2 + 9y^2 = 9$。

我们要求 $|PM|$ 的最大值。
$|PM|^2 = (x_M - m)^2 + (y_M - n)^2$。

这个问题可以转化为求点 $P$ 到椭圆上点的最远距离。
我们知道点 $P$ 在圆 $x^2 + (y+4)^2 = 18$ 上。
记圆心为 $C_P(0, -4)$，半径为 $r_P = 3\sqrt{2}$。

$|PM|$ 的最大值意味着 $M$ 应该在远离 $P$ 的方向上。
这通常发生在 $M$ 位于 $C_P$ 和 $P$ 连线的延长线上。

最大值 $|PM|_{max} = C_P M + C_P P$.
这里 $C_P P$ 是 $P$ 到圆心 $C_P$ 的距离，也就是圆的半径 $r_P = 3\sqrt{2}$。
所以 $|PM|_{max} = (\text{从 } C_P \text{ 到椭圆上点的最远距离}) + r_P$。

我们需要找到圆心 $C_P(0, -4)$ 到椭圆 $x^2 + 9y^2 = 9$ 上一点 $M(x_M, y_M)$ 的最远距离。
设 $d^2 = (x_M - 0)^2 + (y_M - (-4))^2 = x_M^2 + (y_M + 4)^2$。
由于 $M(x_M, y_M)$ 在椭圆上，所以 $x_M^2 = 9 - 9y_M^2$。
代入 $d^2$：
$d^2 = (9 - 9y_M^2) + (y_M + 4)^2$
$d^2 = 9 - 9y_M^2 + y_M^2 + 8y_M + 16$
$d^2 = -8y_M^2 + 8y_M + 25$。

对于椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$， $y_M$ 的取值范围是 $[-1, 1]$。
令 $f(y) = -8y^2 + 8y + 25$。
这是一个开口向下的二次函数。
对称轴为 $y = -\frac{8}{2(-8)} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$。
这个对称轴 $y = \frac{1}{2}$ 在区间 $[-1, 1]$ 内。

当 $y_M = \frac{1}{2}$ 时，$d^2$ 取得最大值：
$f(\frac{1}{2}) = -8(\frac{1}{2})^2 + 8(\frac{1}{2}) + 25 = -8 \cdot \frac{1}{4} + 4 + 25 = -2 + 4 + 25 = 27$。
此时 $d_{max}^2 = 27$，所以 $d_{max} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
这表示从 $C_P(0, -4)$ 到椭圆上点的最远距离为 $3\sqrt{3}$。
此时 $y_M = \frac{1}{2}$， $x_M^2 = 9 - 9(\frac{1}{2})^2 = 9 - \frac{9}{4} = \frac{27}{4}$。
$x_M = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
最远点 $M$ 的坐标为 $(\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$。

因此， $|PM|$ 的最大值是 $d_{max} + r_P = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$。

验证 $m=0$ 的情况：
如果 $m=0$，则 $P(0, n)$。
代入 $m^2 + n^2 + 8n - 2 = 0$，得到 $0^2 + n^2 + 8n - 2 = 0$，即 $n^2 + 8n - 2 = 0$。
解得 $n = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64+8}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-8 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 3\sqrt{2}$。
此时 $P(0, -4+3\sqrt{2})$ 或 $P(0, -4-3\sqrt{2})$。
这些点都在圆 $x^2 + (y+4)^2 = 18$ 上。
对于 $P(0, n)$，直线 $OP$ 是 $y$ 轴 (斜率不存在)。
对于 $Q(0, 2-n)$，直线 $OQ$ 也是 $y$ 轴 (斜率不存在)。
这与 $k_1 = 3k_2$ 的条件（斜率存在且 $k_1 = 3k_2$）相符。
因此，我们之前的推导 $m^2 + n^2 + 8n - 2 = 0$ 是正确的，涵盖了 $m=0$ 的情况。

总结：
点 $P$ 满足的几何轨迹是一个圆，圆心为 $C_P(0, -4)$，半径 $r_P = 3\sqrt{2}$。
我们要求 $|PM|$ 的最大值，其中 $M$ 是椭圆上的点。
最大值发生在 $P$ 和 $M$ 都在连接圆心 $C_P$ 和椭圆上最远点的直线上。
最大距离为 $C_P M_{max} + r_P$。
我们计算出 $C_P M_{max} = 3\sqrt{3}$。
所以 $|PM|_{max} = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$。

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最终答案：

(1) 椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$。

(2) (i) 点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{3m}{m^2 + (n+1)^2}, \frac{3(n+1) - m^2 - (n+1)^2}{m^2 + (n+1)^2}\right)$。

(ii) $|PM|$ 的最大值为 $3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$。